7.3 - Movimientos de trayectoria parabólica
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Se trata de la composición de dos movimientos: uno horizontal de tipo mru y otro vertical de tipo mrua.
7.3.1. LANZAMIENTO HORIZONTAL
El objeto se lanza con cierta velocidad en dirección horizontal. En cuanto se encuentra en el aire, queda sometido sólo a la fuerza gravitatoria terrestre (despreciando el rozamiento con el aire) que le proporciona una aceleración constante.
En dirección X tiene, por tanto MRU. En dirección Y tiene MRUA donde a es la aceleración de la gravedad (9,8 m/s2). La velocidad resultante en cada punto de la trayectoria, que es tangente a la trayectoria siempre, es suma de dos vectores perpendiculares: vx tiene módulo constante y vx tiene un módulo que va aumentando mientras se mueve, alcanzando su valor máximo en el momento del impacto con el suelo.
Observamos que la ecuación de la trayectoria es la de una parábola con las ramas hacia abajo (hay un signo - delante de x2) que tiene el vértice en la altura inicial.
TIEMPO DE VUELO- tiempo que pasa el objeto en el aire; es decir tiempo que pasa desde que fue lanzado hasta que impacta contra el suelo (el agua o lo que sea)..
Para deducir su expresión, basta tener en cuenta que en el momento del impacto, t= tiempo de vuelo y la coordenada y=0. Podemos sustituir en y(t) esos dos valores (y=0 y t=tiempo de vuelo) y despejar el tiempo de vuelo.
MÁXIMO ALCANCE o ALCANCE - es la coordenada x del punto de impacto contra el suelo o el agua....
Para deducir su expresión, basta tener en cuenta que para t= tiempo de vuelo, y=0 y x= máximo alcance. Podemos tomar una ecuación que relacione x e y (la ecuación de la trayectoria) y sustituir y=0 y x= máximo alcance y despejar el máximo alcance. También podemos usar la ecuación de movimiento x(t). Si sustituimos t por el tiempo de vuelo en esa ecuación, el valor de la x obtenido es el del máximo alcance.
Ejercicios de lanzamiento horizontal
Lanzamiento horizontal en el cine: Butch Cassidy and the Sundance Kid
37) En la película BUTCH CASSIDY AND THE SUNDANCE KID, de 1969, un grupo de pistoleros se dedica a asaltar los bancos del estado de Wyoming y el tren-correo de la Union Pacific. El jefe de la banda es Butch Cassidy (Paul Newman) y Sundance Kid (Robert Redford) es su inseparable compañero. Esta película ganó 4 Oscars y un Globo de Oro.
Hay una escena en la que, huyendo de sus perseguidores, llegan a un acantilado de 96 m de altura y deciden saltar. Se trata de un salto horizontal con una velocidad inicial de 1,2 m/s.
a) Calcula la velocidad con la que llegan al agua.
b) ¿A qué distancia de la base del acantilado caen (distancia respecto de la vertical)?
c) La escena en la película la grabaron unos especialistas pero Robert Redford y Paul Newman, para simular la escena, saltaron con igual velocidad inicial sobre un colchón de 3,4 m de largo. ¿Desde qué altura saltaron si cayeron en el centro del colchón?
Solución: a) v= (1,2 i - 4,3j) m/s; b) 5,3 m; c) 9,6 m
1) Desde lo alto de un acantilado de 40 m de altura se lanza horizontalmente una piedra con una velocidad de 20 m/s. Determina:
a) tiempo que tarda en caer (tiempo de vuelo)
b) distancia a la que llega la piedra en horizontal (alcance máximo).
2) Una canica rueda con una velocidad de 1,5 m/s por una mesa de 0,8 m de altura. Al llegar al borde de la mesa, se cae. Determina:
a) ecuación de movimiento en X y en Y de la canica.
b) ecuación de la trayectoria que sigue la canica.
c) tiempo de vuelo (tiempo que tarda en tocar el suelo desde que se separa del borde de la mesa). 0,40 s
d) coordenada x del punto de impacto medida desde la vertical del borde de la mesa. 2,6 m
3) Se lanza un cuerpo horizontalmente desde lo alto de un acantilado con una velocidad inicial de 72 km/h. El cuerpo cae a una distancia de 40 m medidos desde la vertical del punto de lanzamiento. Determina:
a) la altura del acantilado. Sol: 19,6 m
b) la velocidad del cuerpo al llegar al mar. Sol: 28 m/s
4) Un especialista debe realizar un salto en moto desde un acantilado que se encuentra a 50 m sobre el suelo. Calcula la velocidad con la que tiene que saltar (sólo tiene componente horizontal) para llegar a donde está la cámara. Nota: la cámara se encuentra a 90 m desde la vertical que define el acantilado. 28,2 m/s
5) Se lanza horizontalmente una pelota desde un balcón a 10 m de altura sobre el suelo y cae a 6 m de la vertical de la terraza. Determina:
a) tiempo que tarda en tocar el suelo. Sol: 1,43 s
b) velocidad con la que fue lanzado. Sol: 4,2 m/s
6) Desde un helicóptero que se encuentra a 100 m de altura y se desplaza horizontalmente con una velocidad de 20 m/s se deja caer un paquete de alimentos. Determina:
a) las ecuaciones de movimiento en X e Y.
b) la ecuación de la trayectoria.
c) posición de impacto con el su elo medida desde la vertical en el inistante de lanzamiento.
d) la velocidad en el momento del impacto con el suelo.
7.3.2.-LANZAMIENTO OBLICUO
En este vídeo vemos varios lanzamientos del lanzador de javalina checo Jan Zelezny que ostenta el record.
El tipo de movimiento que sigue la jabalina corresponde al lanzamiento oblicuo. Podéis ver en el vídeo la trayectoria de la jabalina desde que es lanzada hasta que se queda clavada en el suelo. Es realmente impresionante.
a) lanzamiento oblicuo desde el suelo
El objeto es lanzado formando un cierto ángulo con el suelo. Por eso, la velocidad inicial se puede descomponer en v en dirección X y v en dirección Y, y analizar por separado el movimiento en X y el movimiento en Y. En X, como no hay ninguna fuerza actuando sobre el objeto mientras vuela, su velocidad se mantiene constante. En Y, sin embargo, actúa la fuerza gravitatoria terrestre; por eso, va disminuyendo su velocidad hasta llegar al punto de máxima altura (A), donde vale 0 y, a partir de ahí, comienza a crecer y llega a tener su máximo valor justo en el momento del impacto.
En los campeonatos mundiales de atletismo de Tokio 1991, Mike Powell saltó 8,95 m, batiendo la mítica plusmarca de 8,90 m que poseía Bob Belmonte desde los Juegos Olímpicos de México (1968). Se supone que Mike Powell inició el salto con una velocidad de 9,90 m/s. Determina:
a) el ángulo con el que inició el salto. Sol: 31,8º
b) el tiempo que permaneció en el aire. Sol: 1,06 s
c) la altura máxima que alcanzó en el salto. Sol: 1,39 m
Un jugador de rugby patea un balón hacia los palos. La velocidad de salida del balón es 105 km/h y el ángulo de lanzamiento es de 30º. La portería se encuentra a 65 m del punto de lanzamiento y el palo transversal está elevado 3,0 m sobre el césped. Determina:
a) tiempo de vuelo. Sol: 2,98 s
b) alcance máximo. Sol: 75,3 m
c) altura máxima que alcanza el balón. Sol: 10,9 m
d) velocidad del balón 5 s después de ser pateado el balón (componente en x y en y). Sol: vx= 25,3 m/s; vy=34,5 m/s
Tiro oblicuo en el cine: SPEED
En la película SPEED un grupo de personas van en un autobús que lleva una bomba que explotará si el autobús lleva una velocidad inferior a 80 km/h. El autobús tiene que cruzar un puente en obras que tiene un agujero de 16 m. Al llegar a él deciden saltar con el autobús. La inclinación del puente es de 5º. Al inicial el salto el velocímetro marca 108 km/h. El autobús consigue saltar y las personas sobreviven. ¿Estos datos están de acuerdos con la física? Compruébalo usando las ecuaciones de movimiento.
Lanzamiento oblicuo desde el suelo en el deporte
Un portero de fútbol golpea la pelota con una velocidad de 15 m/s y un ángulo de lanzamiento de 60º. Determina los dos instantes en que el vector velocidad forma ángulos de 45º y -45º con la horizontal. Escribe las coordenadas de las posiciones de la pelota en esos instantes. Solución: 0,56s; r1= (4,2i +5,7j)m; 2,1s y r2= (16i + 5,7j)m
b) lanzamiento oblicuo desde cierta altura
El objeto se lanza con cierta velocidad inicial que forma cierto ángulo con la horizontal; por tanto, el vector velocidad inicial se puede descomponer en la componente en dirección X y la componente en dirección Y. En cuanto se encuentra en el aire, queda sometido sólo a la fuerza gravitatoria terrestre (despreciando el rozamiento con el aire) que lleva dirección Y y que le proporciona una aceleración constante en dirección Y que es g= 9,8 m/s2
En dirección X tiene, por tanto MRU. La componente en X de la velocidad vale, durante todo el tiempo, lo que valía inicialmente. En dirección Y tiene MRUA donde a es la aceleración de la gravedad (9,8 m/s2). La velocidad resultante en cada punto de la trayectoria, que es tangente a la trayectoria siempre, es suma de dos vectores perpendiculares: vx tiene módulo constante y vx tiene un módulo que va disminuyendo hasta valer 0 en el punto más alto de la trayectoria. A partir de ahí, durante el descenso, comienza a aumentar. Su valor máximo lo tiene en el momento del impacto.
Desde lo alto de una torre de 45 m de altura se lanza hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 20m/s formando un ángulo con la horizontal de 30º. Determina:
a) tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.
b) tiempo de vuelo. Sol: 4,22 s
c) alcance máximo. Sol: 63,2m
d) velocidad cuando impacta contra el suelo. Sol: 35,9 m/s
Un jugador de baloncesto lanza a canasta desde 2,00 m de altura con una velocidad de 10,7 m/s y un ángulo de 40º. La pelota tarda 1,22 s en llegar a la canasta. Determina:
a) la altura máxima que alcanza la pelota. Sol: 4,41 m
b) la velocidad de la pelota a los 0,72 s. Sol: (8,2 i -0,18j) m/s
Se lanza un proyectil desde una torre de 50 m de altura formando 30º con la horizontal. La velocidad de lanzamiento es 350 m/s. Calcula:
a) tiempo que tarda en caer al suelo. Sol: 36 s
b) alcance máximo. Sol: 10.912 m
c) altura máxima. Sol: 1613 m
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