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1 - MODELO GEOCÉNTRICO Y HELIOCÉNTRICO
Claudio Ptolomeo (s. II a.C.) creía en un modelo geocéntrico del Universo. El primero fue propuesto por Aristóteles en el s. IV a.C.
Modelo geocéntrico:
La Tierra está inmovil en el centro del Universo.
Alrededor de la Tierra se mueven los demás astros enuna serie de ´robitas que son, por orden de proximidad, las de la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter, Saturno y las estrellas.
Los astros se mueven en órbitas circulares, llamadas epiciclos, alrededor de un punto que, a su vez, describe una órbita circular (a la que da el nombre de deferente) alrededor de la Tierra.
La trayectoria compuesta por ambos movimientos se llama epicicloide. Los epiciclos son recorridos en sentido contrario al círculo deferente.
Este modelo resultaba muy complicado pero conseguía explicar algunos fenómenos como la salida y la puesta de sol. Todas las trayectorias eran circulares así que, desde la época de Aristóteles, se creía fundamentalmente en este modelo ya que el círculo era la figura perfecta y los astros eran considerados dioses y debían moverse de acuerdo con la figura geométrica perfecta.
Nicolás Copérnico, monje polaco del s. XVI, creía en un modelo heliocéntrico. Antes que él, propuso uno parecido Aristarco en el s. III a.C. Con él se podía explicar el paralaje no observado de las estrellas y otros fenómenos pero no se podía admitir en esa época que la Tierra no estuviera en el centro del Universo e inmóvil ya que es el lugar en el que habita el hombre y era considerada la figura más importante de la creación.
Copérnico describe su modelo en el libro "Sobre las revoluciones de las órbitas celestes", que fue publicado cuando él ya había muerto, en 1543.
Modelo heliocéntrico:
El sol, y no la Tierra, es el centro del Universo.
Todos los planetas giran alrededor del Sol.
El modelo heliocéntrico de Copérnico explica la alternancia día /noche, el movimiento retrógrado de los planetas...Además, fue confirmado cuando Galileo observó con un telescopio construido por él las fases de venus, las manchas solares, los cráteres lunares, los satélites de Júpiter (llamados "mediceos" en honor a Cosme II de Medicis). Galileo describió su modelo en el libro "Diálogo sobre los dos mayores sistemas del mundo" publicado en 1632. Fue condenado por tener esas ideas por el Tribunal del Santo Oficio a arresto domiciliario de por vida. Murió ciego.
2 - LEYES DE KEPLER
Fueron formuladas por Johannes Kepler, matemático y astrónomo alemán a principios del siglo XVII.
J. Kepler partió de los datos obtenidos experimentalmente por el astrónomo danés Tycho Brahe. Éste no usaba telescopio; inventó unos instrumentos para hacer sus observaciones. La familia de Tycho Brahe le dio a Kepler los datos obtenidos que él había obtenido cuando murió.
Son una descripción cinemática del Universo ya que son ecuaciones que describen cómo se mueven los planetas pero no dicen cuál es la fuerza responsable de este movimiento.
La primera y la segunda fueron descritas en su libro "Astronomía nova", publicado en 1609. La tercera ley fue descrita en el libro "Sobre la armonía del mundo" publicado en 1619.
2.1 - 1ª ley de Kepler o "ley de las órbitas":
Los planetas se mueven en órbitas planas de forma elíptica estando el Sol en uno de sus focos.
Demostración teórica:
Que las órbitas sean planas se deduce de que, según el teorema de conservación del momento angular, si una partícula está sometida a una fuerza cuyo momento es cero, su momento angular se mantiene constante en módulo, dirección y sentido. La fuerza gravitatoria es una fuerza central, por tanto su momento respecto al punto de referencia (donde está el Sol), es cero y, por consiguiente, el momento angular de los planetas es constante. Al mantener constante su dirección, las órbitas deben ser planas y con orientación constante en el tiempo.
Que las órbitas sean elípticas se deduce de que para objetos sometidos a fuerzas centrales (aquellas en las que el vector de posición de la partícula y la fuerza son paralelas) la trayectoria es una cónica (circunferencia, elipse, parábola o hipérbola).
2.2 - 2ª ley de Kepler o "ley de las áreas"
El vector de posición de los planetas (tomando como origen del sistema de referencia el Sol) barre áreas iguales en tiempos iguales. Dicho de otro modo: la velocidad areolar es constante.
El punto más cercano en su trayectoria en torno al Sol se denomina perihelio y el más lejano, afelio.
La velocidad de los planetas en el afelio es menor que en el perihelio. Se deduce del hecho de que el momento angular de los planetas se mantiene constante en módulo durante su movimiento.
La velocidad orbital solo es constante si la excentricidad de la órbita es cero; que es el caso de la circunferencia. Venus y Neptuno son los planetas con menor excentricidad.
2.3 - 3ª ley de Kepler o "ley de los períodos"
El cuadrado del período de revolución de los planetas en su giro alrededor del Sol es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita". La distancia debe estar expresada en UA (1 UA es la distancia media entre la Tierra y el Sol y vale aproximadamente 150 millones de km.
MOMENTO ANGULAR ORBITAL
¿Cuánto sabes sobre las leyes de Kepler?? Practica con este cuestionario.
3 - LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Esta ley supone una descripción dinámica del Universo, mientras que las leyes de Kepler son una descripción cinemática.
Se debe a sir Isaac Newton en el s. XVII.
Puede deducirse a partir de la segunda ley de Newton (o ley fundamental de la dinámica) y las leyes de Kepler).
CARACTERÍSTICAS DE LA FUERZA GRAVITATORIA
CARACTERÍSTICAS DE LA FUERZA GRAVITATORIA
Se da entre parejas de cuerpos.
Aunque la definió para sistemas puntuales (cuerpos con masa pero sin volumen), se puede generalizar a cuerpos extensos.
Es universal; es decir, no sólo se da entre parejas de cuerpos situados en la Tierra sino también entre los astros.
Es muy débil, ya que G es una constante muy pequeña (constante de gravitación universal). El valor de G fue medido por H. Cavendish en 1798 con un instrumento diseñado por él mismo.
Es atractiva.
Es una fuerza central; es decir, actúa a lo largo de la línea que une los centros de ambos cuerpos. Los cuerpos sometidos a este tipo de fuerzas describen trayectorias llamadas "cónicas".
El trabajo que realiza este tipo de fuerzas sobre un cuerpo para moverlo de un punto a otro no depende más que de la posición inicial y final. A este tipo de fuerzas se les denomina "conservativas" ya que su energía mecánica se conserva mientras sólo actúan ellas. Los cuerpos sometidos a este tipo de fuerzas tienen un tipo de energía que se denomina "energía potencial".
IMPLICACIONES
Se introduce el concepto de "masa gravitatoria".
Se da significado a la constante que aparece en la tercera ley de Kepler (igualando la LGU con la ley fundamental de la dinámica para mcu)
Se usa el concepto de campo gravitatorio para poder entender este tipo de acción a distancia. El concepto de campo ya lo había introducido unos años antes Michael Faraday para explicar la interacción eléctrica.
Permite entender el movimiento de satélites (tipo de trayectoria, velocidad orbital y de escape...)
4 - CAMPO GRAVITATORIO CREADO POR MASAS PUNTUALES
Hay dos tipos de campos: escalares y vectoriales.
campo escalar
campo escalar
En los escalares, en cada punto del espacio hay una magnitud escalar que toma un valor distinto; por ejemplo, los campos de presiones que se ven en los mapas de pronóstico del tiempo. Las isobaras son líneas que unen los puntos de igual presión atmosférica a cierta altura.
En los campos vectoriales, hay una cierta magnitud vectorial que cambia en módulo, dirección y sentido en el espacio.
El campo gravitatorio es un campo vectorial. Una partícula con cierta masa, m, produce una deformación en el espacio que la rodea. Cuando otra partícula se coloca dentro de esa zona del espacio, se ve sometida a una fuerza.
Campo gravitatorio es la perturbación que todo cuerpo que tiene masa produce en el espacio que le rodea.
4.1.- Intensidad del campo gravitatorio
Un cuerpo de masa M genera una perturbación en el espacio que le rodea que se llama "campo gravitatorio". Si se coloca un cuerpo de masa m en un punto P, situado a una distancia r de él, experimenta una fuerza F. La intensidad del campo gravitatorio en ese punto es la fuerza que experimenta en ese punto un cuerpo de masa unidad colocado ahí al que se llama "masa testigo".
Una partícula de masa m1 crea un campo gravitatorio en el punto P cuya intensidad viene dada por el vector g dibujado en rojo. Si ahí se coloca una partícula, su vector de posición sería el representado en azul.
Cuando un cuerpo cae desde cierta altura a la superficie de la Tierra, está sometido a la fuerza gravitatoria y la aceleración con la que cae la llamamos "aceleración de la gravedad". Su valor es, precisamente, la intensidad del campo gravitatorio en el punto desde el que cae. Se comprueba sustituyendo M por la masa de la Tierra y r por su radio.
La unidad de la intensidad del campo gravitatorio es la misma que la de la magnitud aceleración: m/s^2
5 - ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
La energía potencial gravitatoria que tiene un cuerpo de masa m a una cierta distancia del centro de la Tierra es el trabajo que hay que realizar sobre él para llevarlo desde esa posición hasta una distancia infinita de la Tierra. (En realidad eso es la energía potencial gravitatoria terrestre. Se puede definir también la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m que está situado a una distancia r del centro de otro de masa M; que no tiene por qué ser la Tierra).
Su unidad SI es el Julio (J)
6 - POTENCIAL GRAVITATORIO
El potencial gravitatorio en un punto A situado a una distancia r del centro de la Tierra (u otro objeto de masa M) es la energía potencial gravitatoria que tendría una partícula de masa unidad situada en ese punto.
Trabajo que realiza el campo gravitatorio para mover una partícula de masa M de un punto A a otro B.
7 - REPRESENTACIÓN DEL CAMPO GRAVITATORIO
7.1- Mediante líneas de campo- Estas líneas cumplen que, en cada punto, el vector intensidad del campo gravitatorio es tangente a las líneas de campo.
Si sólo hay una partícula con masa.
La densidad de líneas es proporcional a la masa de la partícula.
Si hay dos partículas con masa: en el dibujo de la izquierda, las dos partículas tienen la misma masa y en el de la derecha distinta.
7.2- Mediante superficies equipotenciales- Si unimos los puntos en el entorno de una partícula con masa m que tienen el mismo valor del potencial gravitatorio, tenemos líneas en forma de circunferencias (si hacemos el dibujo en un plano) o esferas (si hacemos el dibujo en el espacio). En este último caso hablamos de "superficies equipotenciales". Tanto las circunferencias como las esferas tienen como centro la partícula con masa.
8 - MOVIMIENTO DE SATÉLITES
8.1- UN POCO DE HISTORIA
Después de la Segunda Guerra Mundial, EEUU y la URSS comienzan la llamada "carrera espacial"; ambos quieren ser los primeros en mandar un satélite al espacio.
En 1957 la URSS lanza SPUTNIK I ( en ruso significa "satélite") que es el primer satélite sin tripulación que se lanza al espacio y orbita la Tierra.
Unos meses después manda el SPUTNIK II con una perra llamada Laika.
En 1958 los EEUU crean la NASA (National Aeronautics and Space Administration).
1961- Por primera vez un hombre va al espacio: Yuri Gagarin, a bordo de la nave VOSTOK I.
1969- Por primera vez un hombre pone el pie en la Luna. La misión se llamaba Apolo 11 y a bordo van: Neil Armstrong y Edwin Aldwin. Hubo antes más misiones con el nombre de Apolo y también después. Actualmente se está preparando ARTEMIS II para ir de nuevo a la Luna. Esta vez será la primera vez que en la tripulación habrá una mujer y un negro. Artemisa era la hermana gemela de Apolo en la mitología griega.
1975 - Europa crea su propia agencia espacial, la ESA.
Diferencia entre astronauta y cosmonauta: aunque su trabajo es prácticamente el mismo, a los astronautas los entrena la NASA, la ESA, la CSA o la JAXA, mientras que a los cosmonautas los entrena Rusia. Los chinos tienen otro sistema y le dan otro nombre a sus trabajadores: takionautas.
Comprobando la hipótesis de Galileo
Comprobando la hipótesis de Galileo
El astronauta David Scott, en 1971 fue a la Luna a bordo de la nave Apolo XV. Estando allí, dejó caer simultáneamente una pluma y un martillo. Comprobó que ambos objetos tocaban el suelo simultáneamente. Eso significa que caían con la misma aceleración. Esto ocurre porque ambos están sometidos únicamente a la fuerza gravitatoria Lunar ya que en la Luna no hay atmósfera. En la Tierra esto no ocurre porque los dos objetos estarían sometidos también a la fuerza de rozamiento que tiene un módulo distinto para la pluma y el martillo. Esta experiencia confirmó la hipótesis que Galileo planteó en el siglo XVII.
ARTEMIS II
ARTEMIS II
Por primera vez en una misión espacial, viajará al espacio una mujer y un hombre de color. La misión se llama ARTEMIS II. Está planificada para noviembre de 2024.
8.2- Velocidad orbital- Es la velocidad lineal a la que los satélites se mueven en torno a un planeta con MCU.
8.3- Período orbital - Tiempo que tarda un satélite en dar una vuelta en torno a un planeta (o un planeta en dar una vuelta alrededor del Sol.
8.4- Energía de enlace o enegía orbital - Energía mecánica que tiene un satélite mientras está orbitando en torno a un planeta.
Ésta tiene un valor constante mientras el satélite está en órbita porque sólo está actuando sobre él la fuerza gravitatoria y ésta es una fuerza conservativa.
8.5- Energía de puesta en órbita - Energía que hay que comunicar a un satélite desde la superficie de la Tierra para ponerlo en órbita. Se compone de dos términos: uno representa la energía necesaria para elevarlo hasta cierta altura y otro para comunicarle la velocidad necesaria para que orbite en torno al planeta.
8.6- Energía de cambio de órbita - Energía que hay que comunicar a un satélite que está en órbita en torno a un planeta a una distancia r de su centro para que pasa a describir una órbita de otro radio mayor.
8.7- Velocidad de escape - Representa la velocidad que hay que comunicarle al satélite cuando ya está a la altura adecuada para que comience a moverse y lleve una velocidad cada vez mayor a medida que se va alejando del planeta desde el que ha sido lanzado hasta escapar totalmente de la atracción gravitatoria.
8.8- Trayectorias según la energía
8.9 - Clasificación de satélites según la distancia la Tierra en su órbita.
LEO (LOW EARTH ORBIT) - Orbitan a una distancia sobre la superficie de la Tierra inferior a 10.000 km. El más conocido es el ISS (international space satellite) que orbita a 400 km. Existe desde 1998 y, desde el 2000, siempre tiene tripulación que se turnan en períodos de 6 meses.
MEO (MEDIUM EARTH ORBIT) - Orbitan a una distancia sobre la superficie de la Tierra de hasta 20.000 km. A este tipo pertenecen los satélites que forman el llamado GPS (Global Positioning System).
HEO (HIGH EARTH ORBIT) - Orbitan a una distancia sobre la superficie de la Tierra aún mayor. A este tipo pertenecen los satélites GEO (satélites geoestacionarios). Su nombre se debe a que, su período orbital coincide con el período orbital de rotación de la Tierra. Debido a este hecho, desde la Tierra, parece que están quietos. El más conocido es el METEOSAT, que proporciona información para la predicción meteorológica.
CUESTIONES Y PROBLEMAS
A) MOVIMIENTO DE CUERPOS SOBRE PLANOS HORIZONTALES E INCLINADOS.
1) Un cuerpo de 5 kg desciende con velocidad constante desde una altura de 15 m por un plano inclinado con rozamiento que forma 30º con respecto a la horizontal. Sobre el cuerpo actúa una fuerza de 20 N paralela al plano y dirigida en sentido ascendente.
a) Realice un esquema con las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
b) Determine razonadamente el trabajo realizado por cada una de las fuerzas hasta que el cuerpo llega al final del plano. Solución:
SELECTIVIDAD JUNIO 2023
2) Un bloque de 2 kg asciende con una velocidad inicial de 8 m/s por un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal hasta detenerse momentáneamente. A continuación, el bloque desciende hasta llegar al punto de partida. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,2. Determine, mediante consideraciones energéticas:
a) la altura máxima a la que llega el bloque
b) la velocidad con la que regresa el bloque al punto de partida.
SELECTIVIDAD 2022 JULIO
3) Un objeto de 2 kg, inicialmente en reposo, asciende por un plano inclinado de 30º respecto a la horizontal debido a la acción de una fuerza de 30 N paralela a dicho plano. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,1.
a) Dibuje todas las fuerzas que actúan sobre el objeto y calcule sus módulos.
b) Mediante consideraciones energéticas, determine la variación de energía cinética, potencial y mecánica cuando el objeto ha ascendido una altura de 1,5 m.
SELECTIVIDAD JULIO 2021
4) Sobre un cuerpo de 3 kg, que está inicialmente en reposo sobre un plano horizontal, actúa una fuerza de 12 N paralela al plano. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es 0,2. Determine, mediante consideraciones energéticas:
a) el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento tras recorrer el cuerpo una distancia de 10 m.
b) la velocidad del cuerpo después de recorrer los 10 m.
SELECTIVIDAD JUNIO 2022
5) Un bloque de masa 150 kg desliza por una superficie horizontal con rozamiento. El bloque se mueve hacia la derecha con velocidad inicial de 3 m/s . Sobre el bloque actúa una fuerza de módulo 20 N dirigida hacia la izquierda y que forma un ángulo de 30º sobre la horizontal, recorriendo 25 m hasta detenerse.
a) Realice un esquema de las fuerzas ejercidas sobre el bloque.
b) Calcule las variaciones de energía cinética, potencial y mecánica del bloque en el trayecto descrito.
c) Calcule el trabajo realizado por cada una de las fuerzas aplicadas sobre el bloque.
B) Cálculo de la intensidad del campo gravitatorio, potencial gravitatorio, energía potencial gravitatoria, trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar partículas y fuerza que actúa sobre una masa debido al campo gravitatorio y cuestiones teóricas relativas a estos conceptos.
1) Dos masas de 2 y 4 kg se sitúan en los puntos A(2,0) m y B(0,3)m, respectivamente.
a) Determine el campo y el potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.
b) Calcule el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para trasladar una tercera masa de 1 kg desde el origen de coordenadas hasta el punto C(2,3) m.
SELECTIVIDAD JUNIO 2022
2) a) Relación entre campo y potencial gravitatorios.
b) Dibuje en un esquema las líneas del campo gravitatorio creado por una masa puntual M. Una masa m, situada en un punto A, se traslada a otro punto B, más próximo a M. Razone si aumento o disminuye su energía potencial.
SELECTIVIDAD 2011
3) En una determinada región del espacio existen dos puntos A y B en los que el potencial gravitatorio es el mismo.
a)¿Podemos concluir que los campos gravitatorios en A y B son iguales?
b)¿Cuál sería el trabajo realizado por el campo gravitatorio al desplazar una masa m desde A hasta B?
SELECTIVIDAD JUNIO 2022
4) Dos masas de 1 y 3 kg se encuentran situadas en los puntos A(1,0) m y B(6,0) m, respectivamente. Calcule:
a) el potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.
b) el campo gravitatorio en el origen del coordenadas.
c) la fuerza gravitatoria que actuará sobre una partícula de 0,5 kg situada en el origen de coordenadas.
SELECTIVIDAD RESERVA 2 2022
5) a) Escriba la expresión del potencial gravitatorio creado por una masa puntual M, indicando las magnitudes que aparecen en la misma. b) Razone el signo del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando una masa m, inicialmente en reposo en las proximidades de M, se desplaza por acción del campo gravitatorio.
SELECTIVIDAD JUNIO 2023
6) Dos partículas de masas m y 4 m están separadas una distancia d. Determine razonadamente en qué punto se ha de colocar una tercera partícula de masa m para que se encuentre en equilibrio.
SELECTIVIDAD RESERVA 2 2022
7) Una masa puntual m se encuentra en la inmediaciones de otra masa puntual M. Razone cómo se modifica la energía potencial gravitatoria cuando:
a) Las dos masas se acercan.
b) Aumenta el valor de la masa m.
SELECTIVIDAD JULIO 2023
8) Una partícula de masa m desconocida se encuentra en el origen de coordenadas. Sabiendo que la componente x del campo gravitatorio en el punto A(2,2) m creada por dicha masa es -1,18 · 10^-11 N·Kg^-1, determine:
a) el valor de la masa m
b) el trabajo que realiza el campo gravitatorio para llevar una partícula de masa M=5 kg desde el punto B(4,0) m al punto A(2,2)m.
SELECTIVIDAD RESERVA 3 2022
9) Dos masas iguales de 2 kg están situadas en los puntos A(1,0) m y B(-1,0).
a) Calcule la fuerza gravitatoria sobre una tercera masa M de 1 kg situada en el punto C(0,1)m.
b) Determine el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando la masa M se desplaza hasta el origen de coordenadas.
SELECTIVIDAD JULIO 2022
10) Dos cuerpos de masas m y 2m están separados una distancia d. Razone, con la ayuda de un esquema, si se anula el campo o el potencial gravitatorio en algún punto del segmento que los une.
SELECTIVIDAD JULIO 2022
11) Dos masas de 5 kg se encuentran en los puntos A(0,2) y B(2,0)m . Determine razonadamente:
a) el valor de la intensidad de campo gravitatorio en el punto C(0,0)m . Solución:
b) el potencial gravitatorio en el mismo punto. Solución:
c) el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para desplazar una masa de 3 kg desde C hasta el punto D(2, 2)m . Justifique el resultado obtenido. Solución:
Datos: G =6'67 · 10^-11 Nm^2· kg^-2
SELECTIVIDAD JULIO 2023
12) Razone la veracidad de las siguientes afirmaciones:
a) Es necesario que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo sea nula para que la energía mecánica se conserve.
b) Cuando sobre un cuerpo actúan solo fuerzas conservativas se conserva la energía mecánica.
SELECTIVIDAD RESERVA 4 2021
13) Razone si son verdaderos los siguientes enunciados:
a) El trabajo total realizado por las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica.
b) Siempre que actúen fuerzas no conservativas la energía mecánica varía.
14) ¿Se cumple siempre que el aumento de energía cinética es igual a la disminución de energía potencial? Justifique su respuesta.
SELECTIVIDAD 2020
15) a) Enuncie el teorema de la energía cinética o de las fuerzas vivas.
b) Explique qué son las fuerzas conservativas y qué relación tienen con la energía potencial.
SELECTIVIDAD RESERVA 3 2022
16) a) ¿Puede ser negativa la energía cinética de una partícula? ¿Y la energía potencial? En caso afirmativo, explica el significado del signo.
b) ¿Se cumple siempre que el aumento de energía cinética es igual a la disminución de energía potencial? Justifique su respuesta.
17) Una partícula que está en reposo, comienza a moverse por la acción de una fuerza conservativa. Conteste a las siguientes preguntas.
a) ¿Cómo se modifica su energía mecánica?
b) ¿Y su energía potencial?
SELECTIVIDAD 2019
18) Conteste razonadamente:
a) ¿Puede asociarse una energía potencial a una fuerza de rozamiento?
b) ¿Qué tiene más sentido físico, la energía potencial en un punto o la variación de energía potencial entre dos puntos?
SELECTIVIDAD 2019
19) Discuta razonadamente la veracidad de las siguientes frases:
a) El trabajo realizado por una fuerza conservativa para desplazar un cuerpo es nulo si la trayectoria es cerrada.
b) En el descenso de un objeto por un plano inclinado con rozamiento, la disminución de su energía potencial se corresponde con el aumento de su energía cinética.
SELECTIVIDAD JULIO 2021
20) a) Defina los conceptos de energía cinética, energía potencial y energía mecánica e indique la relación que existe entre ellas cuando sólo actúan fuerzas conservativas.
b) Explique razonadamente cómo se modifica dicha relación si intervienen además fuerzas no conservativas.
SELECTIVIDAD JUNIO 2022
C) MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS
1) Se quiere poner en órbita un satélite artificial de 1200 kg de masa a 6.500 km del centro de la Tierra. Determina:
a) El trabajo que hay que realizar sobre él sólo para llevarlo desde la superficie de la Tierra hasta esa altura. Solución: 1,5 · 10^9 J.
b) La velocidad que deben comunicarle los cohetes al llegar a esa altura para que describa una órbita circular en torno a la Tierra. Solución: 7,8 · 10^3 m/s
Datos: Radio de la Tierra= 6,37 · 10^6 m; masa de la Tierra = 5,97 · 10^24 kg.
2) Un satélite de masa m orbita a una altura h sobre un planeta de masa M y radio R.
a) Deduzca la expresión de la velocidad orbital del satélite y exprese el resultado en función de M, R y h.
b) ¿Cómo cambia su velocidad si la masa del planeta se duplica? ¿Y si se duplica la masa del satélite?
SELECTIVIDAD JUNIO 2023
3) Recientemente la NASA envió la nave ORIÓN-Artemis a las proximidades de la Luna. Sabiendo que la masa de la Tierra es 81 veces la de la Luna y la distancia entre sus centros es 3'84 ·10^5 km :
a) Calcule en qué punto, entre la Tierra y la Luna, la fuerza ejercida por ambos cuerpos sobre la nave es cero. Solución:
b) Determine la energía potencial de la nave en ese punto sabiendo que su masa es de 5000 kg. Solución:
Datos: G = 6'67 · 10^-11 Nm^2 · kg^-2 ; Masa de la Tierra= 5'98 · 10^24 kg
SELECTIVIDAD JUNIO 2023
4) Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La velocidad de escape desde la órbita es la cuarta parte de la velocidad de escape desde la superficie terrestre.
a) Deduzca la relación que existe entre el radio de la órbita y el radio terrestre. Solución:
b) Determine la relación entre la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre y en la órbita del satélite. Solución:
SELECTIVIDAD JUNIO 2023
5) Un planeta tiene un radio de 5.000 km y la gravedad en su superficie es 8'2 m· s^-2 . Este planeta orbita en torno a una estrella que tiene una masa de 8 · 10^31 kg.
Determine:
a) La masa del planeta. Solución:
b) La velocidad de escape desde su superficie. Solución:
c) El radio de la órbita en la que la energía mecánica del planeta tiene un valor de -8'15· 10^33 J .
SELECTIVIDAD JULIO 2023
6) Deduzca la expresión de la energía mecánica de un satélite de masa m que orbita a una altura h de la superficie de un planeta de masa M y radio R. Exprese el resultado en función de m, M, R y h.
SELECTIVIDAD JULIO 2022
7) Se desea colocar un satélite en órbita alrededor de la Tierra de forma que su período orbital sea de 6 horas. Calcule razonadamente:
a) ¿A qué altura sobre la superficie debe estar?
b) ¿Cuál será su velocidad orbital?
SELECTIVIDAD 2022 RESERVA
8) Deduzca la expresión de la velocidad orbital de un satélite y razone si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: Cuanto mayor sea la masa de un satélite, orbitando a una determinada altura, más tardará en dar una vuelta completa en su órbita.
SELECTIVIDAD RESERVA 2022
9) Un planeta B tiene la mitad de masa que otro planeta A, y la velocidad de escape del planeta B es el triple que la de A. Deduzca la expresión de la velocidad de escape y determine razonadamente la relación entre los radios de ambos planetas.
SELECTIVIDAD RESERVA 3 2022
10) De un planeta se desconoce su masa, aunque se sabe que la gravedad en su superficie es la misma que en la superficie de la Tierra y que su radio es un 80 % del radio terrestre.
a) Determine la masa del planeta.
b) Calcule su velocidad de escape.
SELECTIVIDAD RESERVA 3 2022
11) Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:
a) ¿Puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria?
b) ¿Puede ser negativa la energía potencial gravitatoria?
SELECTIVIDAD RESERVA 3 2022
12) Un satélite tarda 4 horas en dar una vuelta completa alrededor de un planeta con una velocidad orbital de 5.000 m/s. Calcule razonadamente:
a) el radio de la órbita y la masa del planeta.
b) la velocidad de escape desde la órbita.
SELECTIVIDAD RESERVA 1 2022
13) Durante la misión del Apolo 11 que viajó a la Luna en julio de 1969, el astronauta Michael Collins permaneció en el módulo de comando, orbitando en torno a a la Luna a una altura de 112 km de su superficie y recorriendo cada órbita en 2 horas.
a) Determina razonadamente la masa de la Luna.
b) Mientras Collins orbitaba en torno a la Luna, Neil Armstrong descendió a su superficie. Sabiendo que la masa del traje espacial que vestía era de 91 kg, calcule razonadamente el peso del traje en la Luna y en la Tierra.
Datos: radio de la luna= 1.740 km
SELECTIVIDAD 2014
14) Un satélite orbita alrededor del planeta A, y otro satélite alrededor del planeta B. El planeta A tiene cuatro veces más masa que el planeta B. Determine la relación entre las velocidades orbitales de los dos satélites si estos orbitan a la misma distancia del centro de cada planeta.
SELECTIVIDAD RESERVA 4 2021
15) Un satélite artificial de 800 kg de masa se sitúa en una órbita de radio cuatro veces el radio de la Tierra.
a) Determine su período orbital.
b) Calcule la energía necesaria para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra despreciando la rotación de la Tierra.
SELECTIVIDAD RESERVA 4 2021
16) Razone si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: "Si un planeta tiene el doble de masa y la mitad del radio que otro planeta, su velocidad de escape será el doble".
b) Conociendo la gravedad y la velocidad de escape en la superficie de Marte, calcule:
i) el radio de Marte
ii) la masa de Marte
Datos: la gravedad en Marte =3,7 m/s^-2; velocidad de escape de Marte= 5·10^3 m/s
SELECTIVIDAD JULIO 2021
17) Un satélite de 500 kg de masa orbita en torno a la Tierra a una velocidad de 6300 m/s. Calcule:
a) el radio de la órbita del satélite.
b) el peso del satélite en la órbita.
SELECTIVIDAD 2020
18) El satélite Astra 2C, empleado para emitir señales de televisión es un satélite en órbita circular geoestacionaria. Calcule:
a) la altura a la que orbita respecto de la superficie de la Tierra y su velocidad.
b) La energía invertida para llevar el satélite desde la superficie de la Tierra hasta la altura de su órbita.
Datos: masa del satélite= 4.500 kg; masa de la Tierra= 5,98 · 10^24 kg; radio de la Tierra= 6.370 km
SELECTIVIDAD 2019
19)a) Defina velocidad orbital y deduzca su expresión para un satélite en órbita circular en torno a la Tierra.
b) ¿Qué relación existe entre las velocidades de escape de un cuerpo si cambia su altura sobre la superficie terrestre de 2· Rt a 3·Rt?
SELECTIVIDAD 2019
20) Un satélite artificial de 1000 kg describe una órbita geoestacionaria con una velocidad de 3,1 · 10 ^3 m/s.
a) Explique qué significa órbita geoestacionaria y determine el radio de la órbita indicada.
b) Determine el peso del satélite en dicha órbita.
21) Un satélite artificial de 500 kg orbita alrededor de la Luna a una altura de 120 km sobre su superficie y tarda 2 horas en dar una vuelta completa.
a) Calcule la masa de la Luna, razonando el procedimiento seguido.
b) Determine la diferencia de energía potencial del satélite en órbita respecto de la que tendría en la superficie lunar.
22) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslación de un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de su órbita.
23) Suponga que la masa de la Tierra se duplicara.
a) Calcule razonadamente el nuevo período orbital de la Luna suponiendo que su radio orbital permaneciera constante.
b) Si, además de duplicarse la masa terrestre, se duplicara su radio, ¿cuál sería el valor de g en la superficie terrestre?
Datos: radio orbital de la Luna= 1,74 · 10^6 m
24) a) Defina velocidad de escape de un planeta y deduzca su expresión.
b) Se desea colocar un satélite en una órbita circular a una altura h sobre la Tierra. Deduzca las expresiones de la energía cinética del satélite en órbita y de la variación de la energía potencial respecto de la superficie de la Tierra.
SELECTIVIDAD 2009
25) a) Enuncie las leyes de Kepler.
b) El radio orbital de un planeta es N veces mayor que el de la Tierra. Razone cuál es la relación entre sus períodos.
SELECTIVIDAD 2009
26) Un satélite de 200 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra y su energía cinética es de 5,3 · 10^9 J.
a) Deduzca la expresión del radio de la órbita y calcule su valor y el de la energía mecánica del satélite.
b) Determine la velocidad de escape del satélite desde su posición orbital.
SELECTIVIDAD 2011
27) a) Energía potencial gravitatoria terrestre.
b) Dos satélites idénticos giran alrededor de la Tierra en órbitas circulares de distinto radio. ¿Cuál de los dos se moverá a mayor velocidad? ¿Cuál de los dos tendrá mayor energía mecánica? Razone las respuestas.
SELECTIVIDAD 2011
28) Un satélite artificial de 400 kg describe una órbita circular a una altura h sobre la superficie de la Tierra. El valor de la gravedad a dicha altura es la tercera parte de su valor en la superficie de la Tierra.
a) Explique si hay que realizar trabajo para mantener el satélite en esa órbita y calcule el valor de h.
b) Determine el período de la órbita y la energía mecánica del satélite.
SELECTIVIDAD 2011
29) Se desea lanzar un satélite de 500 kg desde la superficie de la Tierra para que describa una órbita circular de radio 10 veces el radio de la Tierra.
a) ¿ A qué velocidad debe lanzarse para que alcance dicha altura?. Explique los cambios energéticos que tienen lugar desde su lanzamiento hasta ese momento.
b) ¿Cómo cambiaría la energía mecánica del satélite en órbita si el radio orbital fuera el doble?
SELECTIVIDAD 2012
30) Un satélite artificial de 1200 kg se eleva a una distancia de 500 km de la superficie de la Tierra y se le da un impulso mediante cohetes propulsores para que describa una órbita circular alrededor de la Tierra.
a) Determina la velocidad orbital y el período de revolución del satélite.
b) Calcule el trabajo realizado para llevarlo desde la superficie de la Tierra hasta esa altura y la energía mecánica del satélite en órbita. Comente el signo de ambos resultados.
SELECTIVIDAD 2013
31) a) Enuncie las leyes de Kepler
b) La Tierra está más cerca del Sol en el invierno boreal (en el hemisferio norte) que en el verano. Tanto enero como julio tiene 31 días. ¿En cuál de esos meses recorre la Tierra mayor distancia en su trayectoria? Justifique su respuesta.
SELECTIVIDAD 2023
32) Los satélites Meteosat, desarrollados por la agencia espacial europea (ESA), están colocados en una órbita geoestacionaria.
a) Determine razonadamente la distancia entre el satélite y la Tierra.
b) Si la masa del satélite es 2.000 kg, determine su energía mecánica en la órbita. Razone si hay que aportar energía para mantenerlo en órbita.
SELECTIVIDAD 2013
33) Deduzca razonadamente la expresión de la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie de un planeta. ii) La masa y el radio de la Tierra son 81 y 3’67 veces la masa y el radio de la Luna, respectivamente. ¿Qué relación existe entre las velocidades de escape desde las superficies de la Tierra y la Luna?. Razone su respuesta.
34) Se desea poner alrededor de Júpiter un satélite artificial en órbita circular estacionaria (igual periodo que el planeta). Un día en Júpiter es 0’41 veces el día terrestre y la masa de Júpiter es 318 veces la de la Tierra. Determine:
a) el radio orbital alrededor de Júpiter;
b) la relación que existe entre los radios orbitales de dos satélites que orbitan estacionariamente alrededor de la Tierra y de Júpiter.
Datos: masa de Júpiter, período orbital de la Tierra,
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